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【转载】交叉熵的前世今生  

2016-11-14 08:37:33|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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转载自 http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44239919

本文是《Neural networks and deep learning》概览 中第三章的一部分,讲machine learning算法中用得很多的交叉熵代价函数。

1.从方差代价函数说起

代价函数经常用方差代价函数(即采用均方误差MSE),比如对于一个神经元(单输入单输出,sigmoid函数),定义其代价函数为:

其中y是我们期望的输出,a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。

在训练神经网络过程中,我们通过梯度下降算法来更新w和b,因此需要计算代价函数对w和b的导数:

然后更新w、b:

w <—— w - η* ?C/?w = w - η * a *σ′(z)

b <—— b - η* ?C/?b = b - η * a * σ′(z)

因为sigmoid函数的性质,导致σ′(z)在z取大部分值时会很小(如下图标出来的两端,几近于平坦),这样会使得w和b更新非常慢(因为η * a * σ′(z)这一项接近于0)。

2.交叉熵代价函数(cross-entropy cost function)

为了克服这个缺点,引入了交叉熵代价函数(下面的公式对应一个神经元,多输入单输出):

其中y为期望的输出,a为神经元实际输出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】

与方差代价函数一样,交叉熵代价函数同样有两个性质

  • 非负性。(所以我们的目标就是最小化代价函数)
  • 当真实输出a与期望输出y接近的时候,代价函数接近于0.(比如y=0,a~0;y=1,a~1时,代价函数都接近0)。

另外,它可以克服方差代价函数更新权重过慢的问题。我们同样看看它的导数:

可以看到,导数中没有σ′(z)这一项,权重的更新是受σ(z)?y这一项影响,即受误差的影响。所以当误差大的时候,权重更新就快,当误差小的时候,权重的更新就慢。这是一个很好的性质。

3.总结

  • 当我们用sigmoid函数作为神经元的激活函数时,最好使用交叉熵代价函数来替代方差代价函数,以避免训练过程太慢。

  • 不过,你也许会问,为什么是交叉熵函数?导数中不带σ′(z)项的函数有无数种,怎么就想到用交叉熵函数?这自然是有来头的,更深入的讨论就不写了,少年请自行了解。

  • 另外,交叉熵函数的形式是?[ylna+(1?y)ln(1?a)]而不是 ?[alny+(1?a)ln(1?y)],为什么?因为当期望输出的y=0时,lny没有意义;当期望y=1时,ln(1-y)没有意义。而因为a是sigmoid函数的实际输出,永远不会等于0或1,只会无限接近于0或者1,因此不存在这个问题。

4.还要说说:log-likelihood cost

对数似然函数也常用来作为softmax回归的代价函数,在上面的讨论中,我们最后一层(也就是输出)是通过sigmoid函数,因此采用了交叉熵代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层,此时常用的是代价函数是log-likelihood cost。

In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。

其实这两者是一致的,logistic回归用的就是sigmoid函数,softmax回归是logistic回归的多类别推广。log-likelihood代价函数在二类别时就可以化简为交叉熵代价函数的形式。具体可以参考UFLDL教程

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